Giả thiết T là một biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ V trên trường F vào chính nó và v là một vectơ khác 0 trong V.

Vậy thì v là một vectơ riêng của T khi ảnh của nó qua phép biến đổi T(v) bằng một vô hướng nhân với v. Tức là:

T ( v ) = λ v , {\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}

trong đó λ là một vô hướng trong F, gọi là giá trị riêng, giá trị đặc trưng, hay nghiệm đặc trưng tương ứng với v.

Có sự tương ứng trực tiếp giữa các ma trận vuông cấp n và các biến đổi tuyến tính tự đồng cấu từ một không gian vectơ n chiều vào chính nó, trên cơ sở bất kỳ của không gian vectơ. Vì vậy trong một không gian vectơ hữu hạn chiều, việc định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng sử dụng ngôn ngữ của ma trận và ngôn ngữ biến đổi tuyến tính là tương đuơng.[3][4]

Nếu V là hữu hạn chiều, phương trình trên là tương đương với[5]

A u = λ u . {\displaystyle A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} .}

trong đó A là ma trận vuông biểu diễn cho tự đồng cấu T và u là vectơ tọa độ của v.